東大塾長の山田です。 このページでは、オイラーの公式について高校数学の範囲を用いて解説しています。 オイラーの公式についてしっかりと説明したのち、実際の問題での使い方、数種類の証明を載せています。. 数学オリンピック予選2021の問題を全問解説していこうと思います‼‼わからない問題があった方や、解説を読んでも意味が分からなかった方は、誰でも簡単にわかるように超わかりやすく解説しているので、ぜひ読んでみてください。 ちなみに、この記事では数学オリンピック2021予選の問9、問10、問11、問12を解説します。 また、ほかにも面白い記事をたくさん投稿していますので、そちらのほうも読んでいただければ光栄です。 オイラーの定理とその証明について解説していきたいと思います。 wikipediaなどの照明を読んでもわからないという方にお勧めです。
数論において、オイラーの定理（Euler’s theorem）は初等整数論の最も基本的な定理の一つである。
概要
nが正の整数でaをnと互いに素な正の整数としたとき,
a
φ
(
n
)
≡
1
(
mod
n
)
{\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}
が成立する。
ここで
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
はオイラーのφ関数である。
この定理はフェルマーの小定理の一般化であり、この定理をさらに一般化したものがカーマイケルの定理である。
証明
nと互いに素なn以下の正の整数の集合を
A
=
{
b
1
,
b
2
,
.
.
.
,
b
φ
(
n
)
}
{\displaystyle A=\{b_{1},b_{2},…,b_{\varphi (n)}\}}
とする。
この要素のそれぞれにaを乗じた集合
B
=
{
a
b
1
,
a
b
2
,
.
.
.
,
a
b
φ
(
n
)
}
{\displaystyle B=\{ab_{1},ab_{2},…,ab_{\varphi (n)}\}}
を考えればaとnは互いに素だから、集合A,Bは法をnとしたときに一致し、当然その積も法nにおいて等しくなる。すなわちAの要素の積をPとすれば、
P
≡
a
φ
(
n
)
P
(
mod
n
)
{\displaystyle P\equiv a^{\varphi (n)}P{\pmod {n}}}
nとPは互いに素だから
a
φ
(
n
)
≡
1
(
mod
n
)
{\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}
(証明終)
使用例
例えば7^2009の下二桁を求めたいときに、次のように考えることができる。
φ
(
100
)
=
40
{\displaystyle \varphi (100)=40}
なので,オイラーの定理から
7
40
≡
1
(
mod
100
)
{\displaystyle 7^{40}\equiv 1{\pmod {100}}}
.
よって
7
2009
=
7
9
×
(
7
40
)
50
≡
7
9
≡
7
(
mod
100
)
{\displaystyle 7^{2009}=7^{9}\times (7^{40})^{50}\equiv 7^{9}\equiv 7{\pmod {100}}}
ゆえに下二桁は07になる。
関連項目
- レオンハルト・オイラー
オイラーの定理(整数論) 数学の力
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初等幾何のオイラーの公式は，内心と外心の距離を外接円の半径と内接円の半径だけを用いて表す美しい公式です。 三角形の相似を用いたオイラーの定理のエレガントな証明を紹介します。. オイラー関数の定義 より， n と 互いに素 な数は φ (n) 個存在します。 そこで， (2) P = {x 1, x 2,, x φ (n)} ∈ {1, 2,, n} とおきます。 いま， P の各要素に a を乗じた集合を Q とすると， n を法として P ≡ Q となります。 このことを証明します。 a は n と互いに素であることから， a x 1,, a x φ (n) は P の要素となりますので，これらが全て異なることを示すことができれば， n を法として P ≡ Q となることが示されます。 仮に， (3) a x i ≡ a x j (mod n)